在上一期（链接）的结尾，我们讲到要构造一个多项式系列，来达到描述一个区域内的任意曲面的目的。Zernike多项式正是用于这种目的的一种数学方法，这一期将会对Zernike多项式的数学原理进行进一步的介绍。
Zernike多项式及坐标转换我们需要应用Zernike多项式的时候，多数时候是需要对圆形区域（比如瞳孔、角膜的某个范围内的圆形区域等）的数据进行处理。我们姑且把这个圆形区域设定为半径为1，也就是说，目标曲面是定义在单位圆（
）这个范围内的。
在一个圆形区域中，相比起正交直角坐标系，通常极坐标表示更为方便，而且两者也可以很容易地转化：
或者
一些资料会将
用
表示，本质上是一样的。
这么一来，多项式的表达式
就可以变为
其中
指的是最高次为
的
次多项式；
指的是某点与圆心的距离；
指的是该点与圆心连线的方位角。
这个表达式的意思是，对于单位圆内的任何一个点，该点的数据
都可以用它的用一系列的多项式
及相应的系数
的组合来表示，而且这些多项式取决于该点与圆心的距离
和方位角
。
对于半径不为1的圆形区域，我们也可以先将整个区域缩放到单位圆后再处理数据就可以，对于后面的计算并不产生影响。
Zernike多项式的旋转不变性对于上面提到的这个单位圆区域，有一个性质是我们非常希望得到的：旋转不变性。
举例来说，想象我们手头上有一个沙堆，我们要用数学方式表达它每一个点的高度，我们肯定希望不管沙堆沿着垂直轴怎么旋转，最后我们对这个沙堆的总体高度的评价是不受旋转角度影响的。
而且最好旋转的角度也能够得到保留，比如我们可以说沙堆A与沙堆B总体高度是一样的，但是沙堆A是沙堆B顺时针旋转30°的结果。
这么做就好像我们说角膜A和角膜B的散光大小一样，但是A的散光轴向是40°而B的散光轴向是10°，那么至少光学上我们应该认为这两个角膜造成的波前像差的大小应该是一样的，但同时散光轴向的区别也应该以某种形式体现在最终的数学表达上。
对于“轴外像差”，比如散光，知道了角度以后，就能够将其分解到两个方向上进行分析。
啰嗦了这么多，旋转不变性用数学语言来描述就是：要确保多项式旋转后各元素的相对位置和大小保持原样，而且保留角度信息，也就是说
在上面这个式子中我们看到，如果对多项式
进行了角度为
的旋转，仍然不会改变
这个表达式本身，但是旋转造成的影响又以
的形式作为一个额外的分量保留在整个表达式中。
用极坐标表示的一个巨大优势就是能够轻易地展现出这种角度造成的影响。
上面几段文字也许有点难以理解，如果感觉有困难，建议先跳过，结合后续的内容再尝试几次，应该就会找到一些感觉。
要实现旋转不变性，首先需要
满足这样的形式：
也就是说，尽管Zernike多项式都是
的函数，但为了满足旋转不变性，它必须要能够分解为
这样的形式，将径向相关的信息
和角度相关的信息
分别储存，不要互相干扰。
一旦
可以表示为
和
的乘积，就意味着
的表达式中，
和
两个自变量产生了分离。其中
角度函数只跟该点的角度有关，而与该点与圆心的距离无关；径向函数
只跟该点与圆心的距离有关，而与该点的角度无关。
这就是为什么Zernike多项式总是以
的形式来表示的原因。
Zernike多项式的角度表达式要真正实现旋转不变性，角度表达式
还要满足更多的条件，
，这样才能保证一个东西旋转了0°以后仍然是它自己，
，这样才能保证将一个东西先旋转角度
以后再旋转
的效果等同于将它直接旋转角度
，
，这样才能保证旋转将一个东西旋转°后跟不旋转一样。
满足这三项条件
的
函数可以有无穷多个，而它们的通解（通用的表达式）是
由于
中的
可以是任意整数，所以我们都统一将
加到上标，于是多项式变成了这个样子
而且根据
的情况，会有一些不同
这来自于欧拉公式
和三角函数的性质。
总结在弄清楚角度表达式
后，下一步就是讨论径向表达式
，但这是一项更为艰巨的任务。
简单对这一期的内容进行一下总结，我们解释了
为什么用极坐标来表示单位圆内的数据更为方便；什么是旋转不变性，以及为什么我们要构造的表达式需要保留这个性质；怎么样通过将分解为两个表达式的乘积来实现径向信息和角度信息的分离；角度表达式
的数学形式。
了解这些信息以后至少能对Zernike多项式为什么会有径向函数及角度函数，以及角度函数为什么是这个样子有更深入的理解。
这一期的内容的确是相当难理解的，并且因为作者的能力有限，难以用更加简单或直观的方式解释，能坚持读到这里已经非常不容易。如果读者对于解释这些问题有更好的建议，或者有探讨的需要，欢迎在